Introduction _ 이 장의 구성과 학습 내용
반도체에 인가된 전압에 의한 전류의 변화 ($I-V$) 특성은 원자가 배열된 실공간(real space)의 주기적 에너지 장벽 구조 내에서 전자들의 이동 특성(이동속도, mobility $\mu$)에 의해 결정된다. 이때 원자핵과 전자의 정전기적 작용에 의해 형성된 주기적 에너지 장벽 구조는 원자핵의 전하량과 이들의 공간적 배열 구조에 의해 결정된다.
하지만 원자들이 배열된 실공간의 주기적 에너지 장벽 구조 내에서 입자로서 전자의 이동 특성을 이해하는 데는 매우 복잡한 과정이 필요하다. 따라서 다음과 같이 운동량(momentum, $p$)을 매개로 하여 실공간($x,\ y,\ z$)에서 입자로서 운동하는 전자를 역공간($k_{x},\ k_{y},\ k_{z}$)으로 변환하여 파동의 특성으로 이해하는 것이 유용하다.
양자역학(Quantum mechanics) 또는 파동역학(Wave mechanics) 기반의 분석 방법 중에서 중요한 변환함수이자 분석 도구가 앞으로 등장하게 될 슈뢰딩거 파동방정식(Schr$\ddot{\textrm{o}}$dinger's wave equation, SE)이다. 그리고 특정한 정전기적 에너지 장벽 구조 내에서 임의의 에너지를 가진 전자에 대해 파동방정식을 만족하는 해가 시간적(Temporal), 공간적(Spacial) 의존도(Dependence)를 모두 포함하는 파동함수(Wave function, $\Psi (x,y,z;t)=\psi (x,y,z)\phi (t)$)이다. 파동함수는 전자의 에너지($E$)에 따른 이동 특성에 대한 시간과 공간의 정보를 담고있을 뿐만 아니라, 파동함수의 절댓값의 제곱은 입자가 특정 위치에 존재할 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)라는 것이 20세기 물리학자 막스 보른(Max Born)에 의해 정당화 되었다.
위 사진은 가장 유명한 제 5차 솔베이 회의의 사진으로, 전자와 광자에 대한 회의로 잘 알려져 있다. 당시 물리학자들은 양자역학 지지파와 고전역학 지지파로 첨예하게 의견이 나뉘었는데, 이 회의를 통해 고전역학에서 양자역학으로의 패러다임 전환점을 맞았다.
논쟁에 있어서 양자역학 지지파의 주요 학자는 닐스 보어(Niels Bohr), 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg), 막스 보른(Max Born), 볼프강 파울리(Wolfgang Pauli) 등으로, 그들은 양자역학의 확률적 해석(코펜하겐 해석으로 알려져 있다.)을 받아들였으며, 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정할 수 없다는 불확정성 원리(Heisenberg's Uncertainty Principle)와 파동-입자 이중성(Wave-Particle Duality)을 들어 고전역학으로 설명할 수 없는 현상을 강조하였다.
고전역학 지지파의 주요 학자는 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein), 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schr$\ddot{\textrm{o}}$dinger), 막스 플랑크(Max Planck), 루이 드 브로이(Louis de Broglie) 등으로, 자연은 본질적으로 확률적이지 않기에 양자역학은 불완전한 이론이라고 주장하였으며, 슈뢰딩거의 고양이(Schr$\ddot{\textrm{o}}$dinger's Cat, 1935)는 양자역학의 중첩(Superposition)을 극단적으로 비판한 사례로 잘 알려져 있다.
하지만 당시 최고의 물리학자인 아인슈타인과 같은 고전역학 지지파들의 반박에도 불구하고, 현재는 양자역학의 확률적 해석(코펜하겐 해석)이 현대 물리학의 표준 모델이 되어 양자 얽힘(Quantum entanglement)과 같은 실험적 검증 및 양자 컴퓨팅(Quantum computing)과 같은 응용이 실재한다.
§ Section 2.1 _ 양자역학의 기초
* 광전효과 실험 → 파동의 입자성
독일의 물리학자 하인리히 루돌프 헤르츠(Heinrich Rudolf Hertz)에 의해 발견된 광전효과(Photo-electric effect)를 이론적으로 설명한 아인슈타인은 빛을 광입자(광자, photon)로 가정하여 해석했을 때 고전역학의 해석보다 훨씬 수월하다는 것을 알게되고, 그 공로로 1921년 노벨 물리학상을 받게 된다.
광전효과란 금속 물질이 고유의 특정 파장보다 짧은 파장을 지닌 전자기파를 흡수했을 때 전자를 방출하는 현상으로, 이때 방출되는 전자를 광전자(Photo-electron)라 한다. 파동의 특성을 가진 것으로 알려져 있는 빛의 입자성을 실험으로 관찰한 것이 콤프턴(Compton)의 광전효과 실험으로, 그림 4와 같이 진동수, $\nu$의 단색광을 금속 음극(Cathode)에 쏘고, 광전효과로 인해 방출된 광전자는 양극(Anode)으로 이동하여 흐르는 전류를 측정하는 방식으로 진행된다.
그런데 동일한 실험 방식으로 인가된 빛의 주파수에 따른 광전자의 운동에너지를 관찰한 결과, 음극에 사용되는 금속재료에 따라 특정한 임계 주파수(Threshold frequency, $h\nu_{o}$) 이상의 빛에 대해서만 전류가 관찰되었다. 즉, 임계 주파수 이상의 빛을 음극에 조사해야 광전자가 발생하였다. 여기서 중요한 개념 중 하나인 금속의 일함수(workfunction, $\phi_{metal}\ [eV]$)가 등장하게 된다. 금속의 일함수는 광전자가 방출되기 위해 필요한 최소 에너지로, 그림 5와 같이 실제 측정된 인가된 빛의 주파수 vs. 최대 운동 에너지 곡선을 음의 영역으로 외삽(Extrapolation)하여 추출되는 y절편(에너지 축과 외삽한 곡선의 교점)으로 정의된다.
실제로 세슘(Cs, 원자번호 55)의 일함수는 2.14eV, 칼륨(K, 원자번호 19)은 2.29eV, 텅스텐(W, 원자번호 74)은 4.55eV(4.32~5.22eV)로 그 외 전극으로 사용되는 금속 재료들 또한 같은 실험적 방식으로 추출된 일함수를 적용하게 된다.
* 플랑크의 양자가설 (Max Planck's energy quanta hypothesis). 1900 → 입자의 파동성
빛에 대한 광전효과 실험으로 관찰한 바와 같이 특정한 주파수(=진동수)를 가진 파동은 일종의 에너지 덩어리 형태의 입자인 양자(Energy quanta)로 해석할 수 있다는 이론이 플랑크의 양자가설이다. 광전효과 실험과 같은 금속 물질 표면의 열복사는 불연속적인 에너지 덩어리(Discrete energy quanta)로 방출되며, 방출된 양자(광자)의 에너지는 다음과 같다.
* 드 브로이 물질파 (de Broglie's matter wave). 1924 → 입자의 파동성
유효질량이 $m^{*}$이고 운동량 $p= m^{*}v$를 갖는 입자는 유효파장(Effective wavelength)이 $\lambda=h/p$인 파동(=물질파)으로 해석할 수 있다는 이론이 드 브로이 물질파 이론이다. 즉, 운동량(Momentum)과 파장(Wavelength)은 다음 관계식을 통해 상호 변환 가능하며, 파동-입자 이중성을 잘 보여주는 수식이다.
* 입자와 파동의 이중성 (Wave-particle duality)
앞서 설명한 빛에 대한 광전효과 실험(파동의 입자성)과 드 브로이 물질파(입자의 파동성)로 관찰한 바와 같이 특정한 파장을 가진 파동은 주파수에 의해 결정되는 에너지 덩어리의 입자인 양자로, 그리고 특정한 운동량을 가진 입자는 그에 해당되는 특정한 주파수를 가진 파동으로 해석할 수 있다. 이를 입자와 파동의 이중성이라 한다. 입자와 파동의 이중성은 운동량 $p$를 매개로 상호 변환이 가능하며, 그 관계식은 다음과 같다.
* 하이젠베르크의 불확정성 원리 (Heisenberg's uncertainty principle). 1927
양자역학(또는 파동역학)을 기반으로 물리적 현상을 이해하는 것은 확률적 해석법에 해당하며, 입자의 위치와 운동량은 절대적 정확성을 가지고 동시에 측정할 수 없다는 것이 하이젠베르크의 불확정성 원리이다. 불확정성 원리는 시간-에너지 오차와 위치-운동량 오차로 나눌 수 있으며, 수식은 다음과 같다.
양자역학에서는 이러한 불확정성을 고려하여 결정구조(원자들의 주기적 배열로 형성된 주기적 에너지 장벽 분포 내)전자의 거동을 특정 위치와 시간에서 전자가 발견될 확률로서 묘사하게 되고, 이러한 확률은 앞으로 등장하게 되는 슈뢰딩거 파동방정식의 해(파동함수)로부터 구할 수 있다.
§ Section 2.2 _ 슈뢰딩거 파동방정식 (Schr$\ddot{\textbf{o}}$dinger's wave equation, SE)
* 파동함수(Wave function), $\Psi (x,y,z;t)=\psi (x,y,z)\phi (t)$의 기본 가정
* 원자들의 주기적 배열로 이루어진 결정구조와 에너지 보존 법칙
슈뢰딩거 파동방정식을 적용하고자 하는 물리적 시스템 내 전자에 대한 에너지 장벽 분포는 주어지거나, 알려져 있거나, 간단한 과정을 통해 얻을 수 있다. 전자의 에너지는 고전역학의 에너지 보존 법칙에 의해 다음과 같이 운동에너지($E_{k}$)와 정전기적 위치 에너지($E_{p}$의 합으로 다음과 같이 정의할 수 있다.
또한, 수식 3의 운동량을 매개로 한 수식과 파동의 전파 특성을 나타내는 전파상수($k$; propagation constant)와 운동에너지의 관계식은 다음과 같다.
수식 6과 7은 앞으로 전자의 에너지에 따른 전파 특성($E-k$ diagram)을 이해하는데 매우 중요한 수식이므로 기억해두자.
* 고전역학의 물리량과 양자역학을 위한 양자연산자 (Quantum operator) 변환
실공간인 반도체 내에서 이동하는 전자에 대한 고전역학적 물리량 중 운동량과 에너지는 양자역학적으로 그에 대응하는 양자 연산자로 변환된다. 또한, 고전역학의 에너지 보존 법칙을 양자 연산자로 변환하게 되면 해밀토니안 연산자(Hemiltonian operator)를 다음과 같이 도출할 수 있다.
* 파동함수의 물리적 의미
슈뢰딩거 파동방정식의 해인 파동함수를 구한 후 그 크기를 제곱하여 특정한 정전기적 에너지 장벽 구조에 대해 $du=dxdydz$의 미소 체적 내에서 전자를 발견할 확률을 구할 수 있다. 전자가 1개 존재하는 공간에서 전자가 발견될 확률을 전체 공간에 대해 적분하면 다음과 같이 그 값은 1이 되어야 한다. 이 조건을 파동함수의 정규화 조건(Normalize condition)이라 하며, 이후 파동함수를 규정하는 하나의 필수 조건이 된다.
즉, 단일 전자가 존재하는 경우 파동함수의 크기를 제곱한 값은 특정한 시점, 및 지점에서 전자를 발견할 "정규화된 확률밀도"라 한다. 다수의 전자가 존재하는 경우, 이러한 확률밀도는 임의의 지점에 존재하는 전자의 상대적 농도로 확장하여 해석할 수 있다.
* 1차원 공간의 슈뢰딩거 파동방정식 (1-dimensional SE)과 변수 분리법 (Separation of Variables)
에너지 보존 법칙을 양자연산자로 변환한 1차원 공간에서의 해밀토니안 연산자는 수식 8에 따라 다음과 같이 정의할 수 있다.
1-dimensional SE는 1차원 공간의 해밀토니안 연산자, $\hat{H}$에 파동함수 $\Psi(x,t)$를 곱한 것으로 정의된다. 또한, 전자의 정전기적 에너지 장벽이 시간에 대해서는 무관하다면 ($E_{p}(x,\ t)=E_{p}(x)$), 변수 분리법을 사용하여 다음과 같이 파동함수 $\Psi(x,t)$를 공간에 대한 파동함수, $\psi(x)$와 시간에 대한 파동함수, $\phi(t)$의 곱으로 정의할 수 있다.
수식 11을 공간 $x$에 대한 항과 시간 $t$에 대한 항으로 분리하기 위해 양변을 파동함수 $\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$로 나누고, 변수 분리법에 따라 분리된 각 항은 분리상수, $\eta\ [eV]$와 같다고 놓을 수 있다.
$(i)=(ii)$를 정리하면 시간에 독립적인 슈뢰딩거 파동방정식(Time-independent Schr$\ddot{\textrm{o}}$dinger's wave equation, TISE)을 도출할 수 있으며,
$(i)=(iii)$을 정리하면 공간에 독립적인 슈뢰딩거 파동방정식(Time-dependent Schr$\ddot{\textrm{o}}$dinger's wave equation, TDSE)을 도출할 수 있다. 정리하여 도출한 방정식은 아래와 같다.
도출된 TISE와 TDSE의 일반해를 각각 구해보면,
TDSE의 해 : $\phi(t)$ → TDSE의 해 $*$ $\psi(x)$ = 파동함수, $\Psi(x, t)$
수식 14를 통해 다음을 알 수 있다.
TISE의 해 : $\psi(x)$ → TISE의 해 $*$ $\phi(t)$ = 파동함수, $\Psi(x, t)$
수식 15에서 도출된 식 $I$와 식 $II$는 오일러 공식(Euler's formula)에 의해 수학적으로 동일하다. TISE의 해를 두가지 형태로 나눈 것은, section 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의 응용에서 전자의 특성의 이해에 있어서 편의를 도모하기 위함이다.
식 $I$는 이동하는 전자의 특성 이해에 편리한 수식으로,
1차원 자유 공간 (p.073)
1차원 계단형 에너지 장벽 (p.093)
유한한 두께의 에너지 장벽 (p.099)
모델에 적용된다.
식 $II$는 갇혀있는 전자의 특성 이해에 편리한 수식으로,
1차원 무한 에너지 장벽 (p.077)
1차원 유한한 두께의 에너지 장벽 (p.086)
모델에 적용된다.
한편, 시스템의 에너지, $E$에 의해 변하는 전파상수($k(E)[cm^{-1}]$)는 다음과 같이 정의되며, 주어진 정전기적 에너지 장벽($E_{p}(x)$) 내에서 이동하는 전자의 에너지에 따른 전파 특성을 지배한다.
* 파동함수의 경계조건 및 정규화
SE를 여러 potential model에 적용하기 위한 방법론은 다음과 같다.
① $E_{p}(x)$가 일정한 여러 영역으로 분할한다.
② 분할한 영역에서 propagation constant, $k(x)$와 wave function, $\Psi(x)$를 구한다.
③ 분할한 영역에서 $\Psi(x)$와 공간 변화량 $\frac{d\Psi(x)}{dx}$가 유한하고 유일한 값이 되도록 한다.
④ $E_{p}(x)$가 불연속인 모든 경계에서 $\Psi(x)$및 $\frac{d\Psi(x)}{dx}$ 가 연속이 되는 경계조건을 확인한다.
⑤ 에너지에 따른 propagation constant, $k(x)$의 변화 ($E-k$ diagram)와 허용된 $k$를 적용한 파동함수를 구한다.
위 방법론을 적용하여 위 다섯가지 모델에 대한 파동함수를 도출하는 과정이 "section 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의 응용"이다.
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